1801年，英國物理學(xué)家托馬斯·楊進(jìn)行了一個簡單的雙縫實驗，結(jié)果表明光是一種波，因為它形成了一種干涉圖案。所以在19世紀(jì)的大部分時間里，光被認(rèn)為是一種波。然而，1887年德國物理學(xué)家海因里希·赫茲發(fā)現(xiàn)了一種叫做光電效應(yīng)的東西，這是一種光可以從原子中分離電子的現(xiàn)象，這不是經(jīng)典波應(yīng)該表現(xiàn)的方式。

兩種結(jié)果似乎是矛盾的，光是波還是粒子？隨后，在1909年，泰勒進(jìn)行了一次雙縫實驗，每次只有一個光子通過雙縫發(fā)射。如果通過雙縫照射一個光子，你會在另一邊看到一個點。但是，隨著越來越多的光子一次一個地從狹縫中射出，最終就會出現(xiàn)一種圖案，看起來就像楊在一百多年前展示的干涉圖案一樣。單個光子看起來像粒子，但一堆光子一起表現(xiàn)得像波，所以光子看起來既是波又是粒子。

該實驗后來用電子進(jìn)行，也顯示出相同的模式，但人們對電子波的真正含義感到困惑。我們可以理解水波，因為我們可以看到它們上下擺動。但是電子實際上發(fā)生了什么？這是一個謎。在經(jīng)典力學(xué)中，牛頓第二定律——力等于質(zhì)量乘以加速度，對物理對象將采取的路徑做出數(shù)學(xué)預(yù)測。如果你知道它的初始條件，你總能找出物體的位置。所以需要對電子波采取類似的數(shù)學(xué)描述，以顯示電子位置或其波函數(shù)形狀。

1925年，奧地利物理學(xué)家歐文·薛定諤揭示了這個波函數(shù)的形狀。它是牛頓定律的量子力學(xué)等價物，它可能是量子力學(xué)中最重要的方程。與牛頓方程不同，它不是確定性的。它不像牛頓方程那樣簡單，它隨著時間的推移而發(fā)展。方程中的ψ是一個波函數(shù)，為我們提供了波的形狀。薛定諤自己也在努力解釋這個波函數(shù)，他的解釋是，這是電子在空間上的電荷密度。但這實際上是不正確的，并且不起作用。

1926年，德國物理學(xué)家玻恩發(fā)現(xiàn)ψ函數(shù)與概率有關(guān)。他說它代表了在空間中任何一點找到電子的概率。這個函數(shù)描述了原子中電子的行為，它顯示了電子如何占據(jù)某些軌道以及它們的形狀，這些形狀實際上是在任何特定點找到電子的概率密度。除非你測量它，否則你只能得出在任何特定半徑處找到電子的概率。

最被接受的波函數(shù)解釋，稱為哥本哈根解釋，是由量子力學(xué)的兩位創(chuàng)始人維爾納·海森堡和尼爾斯·玻爾開創(chuàng)的。這種解釋說，在進(jìn)行測量之前，這個等式告訴我們電子同時處于所有潛在位置。這種解釋基本上說波函數(shù)不是真實的東西，它只描述數(shù)學(xué)概率。唯一重要的是測量，那是唯一可以知道粒子的位置、能量或其他屬性的方法。所以當(dāng)測量發(fā)生時，我們說它的波函數(shù)已經(jīng)“坍縮”了，因為只有在那個時候，我們才能確定電子在哪里，它的屬性是什么。

當(dāng)它被測量時，它的概率在你測量它的地方變成 100%，在其他地方變成 0%。但在測量之前，你不會知道在哪里可以找到它。如果你重復(fù)測量，你不太可能在同一個地方找到電子。這種所謂的“波函數(shù)坍縮”是量子力學(xué)的主要困惑所在，沒有等式可以準(zhǔn)確描述測量后這種坍縮是如何發(fā)生的。這被稱為量子力學(xué)的測量問題。