摘要 冷原子體系的量子波動(dòng)性、宏觀量子相干性和人工可調(diào)控性，使其成為了一個(gè)全新的量子體系，其新穎的量子態(tài)和奇異物性的研究是國(guó)際上具有前瞻性和挑戰(zhàn)性的前沿領(lǐng)域。自1995年實(shí)現(xiàn)稀薄氣體玻色—愛(ài)因斯坦凝聚以來(lái)，從單組分、簡(jiǎn)單相互作用的研究逐漸過(guò)渡到多組分、復(fù)雜多體效應(yīng)以及自旋—軌道耦合、非厄米、強(qiáng)關(guān)聯(lián)、無(wú)序效應(yīng)等新物理的研究。文章介紹了近幾年冷原子方面的研究進(jìn)展，包括冷原子的相關(guān)技術(shù)，冷原子在量子精密測(cè)量、量子模擬和量子計(jì)算方面的重要工作，期望給未來(lái)的研究以新啟迪。關(guān)鍵詞 冷原子，量子精密測(cè)量，量子模擬，量子計(jì)算
01引 言
在微觀物理學(xué)中，溫度是原子做無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的度量標(biāo)準(zhǔn)：溫度越高，原子的運(yùn)動(dòng)速率越快，熱運(yùn)動(dòng)越劇烈；溫度越低，原子的運(yùn)動(dòng)速率越慢，熱運(yùn)動(dòng)越微弱。這種無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)是難以預(yù)測(cè)和操控的，往往會(huì)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中引入誤差?？上攵绻軌虮M量減弱原子熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度，也就是盡可能地降低溫度，就會(huì)使實(shí)驗(yàn)得到極大優(yōu)化，這一研究領(lǐng)域統(tǒng)稱為冷原子物理。
冷原子具備以下兩個(gè)特征：第一，冷原子運(yùn)動(dòng)速率慢，相互之間碰撞少，使其易于操控的同時(shí)也降低了能譜的展寬，有助于提高測(cè)量精度；第二，冷原子的德布羅意波長(zhǎng)很長(zhǎng)，表現(xiàn)出明顯的量子特征，具有很強(qiáng)的相干性，可以產(chǎn)生宏觀量子效應(yīng)，一個(gè)最重要的代表就是玻色—愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)(BEC)，其中所有的玻色子都處于能量最低的基態(tài)?；谶@兩個(gè)優(yōu)異的特性，冷原子物理在量子精密測(cè)量、量子模擬、量子計(jì)算等諸多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用?；谠痈缮娴母呔冉^對(duì)重力儀可以通過(guò)測(cè)量重力場(chǎng)的變化進(jìn)行地震監(jiān)測(cè)和地下水探測(cè)，更準(zhǔn)確的原子鐘為全球定位和通信系統(tǒng)提供了強(qiáng)有力的保障，使用冷原子制造的量子存儲(chǔ)器、量子芯片將是量子計(jì)算機(jī)的基本部件，高度可控、純凈的冷原子系統(tǒng)為Hubbard模型、Su—Schrieffer—Heeger(SSH)模型等量子體系的模擬提供了理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。
02冷原子技術(shù)
1975年，H?nsch和Schawlow提出了激光冷卻的方法[1]，基本原理是利用光子與原子之間的散射降低原子的運(yùn)動(dòng)速率，從而達(dá)到冷卻的效果。當(dāng)一個(gè)原子與相向運(yùn)動(dòng)的光子碰撞時(shí)，原子會(huì)將光子吸收并躍遷到激發(fā)態(tài)，由于動(dòng)量守恒，原子將會(huì)以一個(gè)比之前慢的速率繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，之后在某個(gè)時(shí)刻自發(fā)躍遷回基態(tài)，隨機(jī)向一個(gè)方向放出一個(gè)光子。如果大量重復(fù)這一過(guò)程，向各個(gè)方向放出的光子對(duì)原子的反沖作用會(huì)相互抵消，最終表現(xiàn)為原子沿原來(lái)的方向減速運(yùn)動(dòng)。
激光冷卻可以獲得極低的溫度，為人們研究冷原子物理打開(kāi)了一扇大門。1982年，Phillips等人首次實(shí)現(xiàn)了中性鈉原子的激光冷卻[2]，將鈉原子的速度降低到原來(lái)的4%，相當(dāng)于把溫度降低到70 mK。僅僅在三年后，朱棣文等人就將鈉原子進(jìn)一步冷卻到240 μK[3]，達(dá)到了多普勒冷卻的極限。之后，偏振梯度激光冷卻、速度選擇相干粒子數(shù)囚禁冷卻等方法更是突破了多普勒冷卻極限。時(shí)至今日，人們已經(jīng)可以在實(shí)驗(yàn)室中獲得pK級(jí)別的溫度，正逐漸向絕對(duì)零度逼近，并且實(shí)現(xiàn)了幾乎所有堿金屬原子以及部分堿土和稀土原子的冷卻。除了原子外，對(duì)分子[4]和離子的冷卻也逐步被實(shí)現(xiàn)。Langin等人通過(guò)對(duì)超冷中性原子氣體進(jìn)行光電離得到了超冷中性等離子體[5]，溫度達(dá)到50 mK，打破了傳統(tǒng)的高溫等離子體的限制，使中性等離子體的研究深入到強(qiáng)耦合區(qū)域。甚至人們還對(duì)反物質(zhì)進(jìn)行了激光冷卻的研究。2021年，Baker等人首次對(duì)一個(gè)反質(zhì)子和一個(gè)反電子組成的反氫原子進(jìn)行了一維的激光冷卻[6]，觀察到了比未冷卻的反氫原子更窄的1s—2s躍遷光譜(圖1)，這一結(jié)果會(huì)促進(jìn)正在進(jìn)行的對(duì)反氫原子的光譜和引力的研究，并為未來(lái)的反物質(zhì)實(shí)驗(yàn)開(kāi)創(chuàng)了新方法。
圖1 冷卻后的反氫原子具有比未冷卻的反氫原子更窄的1s—2s躍遷光譜[6]
與激光冷卻同時(shí)發(fā)展起來(lái)的另一種方法是蒸發(fā)冷卻，具體過(guò)程是在原子團(tuán)中速率分布達(dá)到平衡時(shí)，將其中速率較大的原子剔除，剩余的原子將在碰撞中達(dá)到新的平衡，這時(shí)原子的速率總體上會(huì)減小，能夠使溫度進(jìn)一步降低，這對(duì)于BEC的獲得具有重要作用。此外，Gisbert等人在研究一維冷原子鏈時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種由原子間交換光子導(dǎo)致的協(xié)同冷卻機(jī)制[7]，當(dāng)鏈足夠長(zhǎng)時(shí)能夠消減原子的自發(fā)輻射，使鏈更穩(wěn)定，分析還表明這種作用在二維情況下可能會(huì)更顯著。
原子無(wú)時(shí)無(wú)刻不在運(yùn)動(dòng)，為了防止原子到處亂跑，需要將它俘獲在勢(shì)阱中。利用反向激光束之間的干涉，在空間上可以形成穩(wěn)定的周期性光學(xué)勢(shì)阱陣列，被俘獲的原子在這些光學(xué)勢(shì)阱中有序排列，類似于晶體結(jié)構(gòu)，因此稱為光晶格。通過(guò)設(shè)計(jì)激光束的方向、波長(zhǎng)和勢(shì)阱深度等參數(shù)可以得到各種晶格結(jié)構(gòu)，并控制原子在不同格點(diǎn)間的躍遷。2016年，Endres等人利用100個(gè)光鑷在不到400 ms的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了將50多個(gè)原子逐個(gè)組裝成無(wú)缺陷的一維陣列[8]。李在勛(Lee Jae Hoon)等人設(shè)計(jì)的一種光學(xué)補(bǔ)償變焦透鏡[9]，可以產(chǎn)生一個(gè)光學(xué)偶極子阱用來(lái)輸運(yùn)冷原子，具有精度高、勢(shì)阱深度恒定、移動(dòng)距離遠(yuǎn)、配置容易等優(yōu)點(diǎn)，可以對(duì)光晶格的組裝方法進(jìn)行補(bǔ)充。三維光晶格的組裝比較困難，尤其是每層之間形狀存在差異或堆疊方式不同的三維晶格，如扭曲雙層石墨烯。因此郝磊(Hao Lei)提出了一種逐層組裝三維光晶格的方案[10]，首先用激光分束器獲得多層二維光晶格，再用兩個(gè)圓柱形薄透鏡組成的光束整形器壓縮z方向的激光束，使層與層之間的距離變小，就可以得到三維光晶格，并可以通過(guò)控制相位參數(shù)實(shí)現(xiàn)不同層之間的相對(duì)滑移，和通過(guò)旋轉(zhuǎn)x—y平面上的反射鏡實(shí)現(xiàn)不同層之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)，這一方案在復(fù)雜晶格結(jié)構(gòu)的研究中具有很好的應(yīng)用前景。
通過(guò)對(duì)冷原子系綜折射或吸收的光圖像進(jìn)行分析，就能夠提取出有關(guān)原子系綜的物理信息。常用的成像技術(shù)有吸收、熒光和相位對(duì)比，還有離共振離焦成像(ORDI)[11]。對(duì)于冷原子氣中的離子，Gross等人提出了一種利用離子—里德伯原子相互作用誘導(dǎo)的吸收進(jìn)行成像的方法[12]，可以以時(shí)間分辨的方式成像離子的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程。
03量子精密測(cè)量
量子精密測(cè)量是冷原子的重要應(yīng)用之一，它的主要任務(wù)是不斷提高測(cè)量的精度。通常我們有兩種手段來(lái)提高測(cè)量精度，最直接的方法就是尋找最小刻度更小的“尺子”，例如最小刻度一米的尺子無(wú)法測(cè)量幾厘米的長(zhǎng)度，但最小刻度是一厘米的尺子就可以測(cè)量幾厘米的長(zhǎng)度；另一種方法是進(jìn)行多次測(cè)量，利用統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)減小每次測(cè)量產(chǎn)生的誤差，數(shù)學(xué)上的中心極限定理告訴我們，對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行N次獨(dú)立重復(fù)的測(cè)量，得到的所有結(jié)果服從正態(tài)分布，每次測(cè)量的誤差為測(cè)量值的
，稱為散粒噪聲極限，是經(jīng)典測(cè)量方法在理論上所能達(dá)到的最高精度。
隨著量子技術(shù)的不斷發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)如果在測(cè)量中利用量子力學(xué)的獨(dú)特性質(zhì)，如相干性、糾纏性等，就可以打破經(jīng)典的散粒噪聲極限的限制，進(jìn)一步提高測(cè)量的精度。如果讓N個(gè)探測(cè)粒子的量子態(tài)相互糾纏，外界對(duì)這N個(gè)粒子的作用就會(huì)相干疊加，最終得到的誤差為測(cè)量值的
，比經(jīng)典的散粒噪聲極限允許的精度提高了
倍，稱為海森伯極限。這是由海森伯不確定原理導(dǎo)致的測(cè)量誤差，來(lái)源于真空中的量子漲落，是無(wú)法被消除的，換言之，海森伯極限是量子測(cè)量方法在理論上所能達(dá)到的最高精度。
盡管理想的量子測(cè)量方法可以得到很高的精度，但將N個(gè)粒子糾纏起來(lái)是極其困難的，實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)。量子精密測(cè)量的研究任務(wù)就是要突破散粒噪聲極限，不斷逼近海森伯極限。由于冷原子的德布羅意波長(zhǎng)很長(zhǎng)，非常容易表現(xiàn)出量子性質(zhì)，因此適合用來(lái)作為量子精密測(cè)量的工具。下面將從三個(gè)方面介紹近年來(lái)在逼近海森伯極限過(guò)程中的進(jìn)展。
3.1 使用壓縮態(tài)進(jìn)行量子測(cè)量
海森伯不確定關(guān)系限制了我們?cè)谕瑫r(shí)測(cè)量多個(gè)物理量時(shí)得到的整體精度，如果放寬對(duì)其中一個(gè)物理量的精度要求，就能使另一個(gè)物理量得到更高的精度，這種量子態(tài)稱為壓縮態(tài)。Hosten等人基于光學(xué)腔測(cè)量時(shí)鐘態(tài)銣原子的實(shí)驗(yàn)對(duì)噪聲水平進(jìn)行了計(jì)算[13]，在沒(méi)有糾纏的情況下，誤差可以表示為
N為原子數(shù)，通過(guò)對(duì)量子態(tài)在自旋自由度上進(jìn)行“壓縮”，即產(chǎn)生了糾纏，如圖2所示，未壓縮時(shí)量子態(tài)在y和z方向的不確定度相同，壓縮后y方向的不確定度增大，而z方向的不確定度減小了，使用壓縮態(tài)再次進(jìn)行測(cè)量得到z方向的測(cè)量誤差，通過(guò)計(jì)算可以得到
其中α是由原子云和激光束的形狀確定的參數(shù)，由于α 1，可知在有糾纏的情況下測(cè)量誤差比沒(méi)有糾纏的情況下減小了很多，意味著超出了經(jīng)典的散粒噪聲極限。
圖2 (a)未壓縮的自旋量子態(tài)在布洛赫球上的表示，斑點(diǎn)代表不確定度，未壓縮時(shí)在y和z方向的不確定度相同；(b)未壓縮的量子態(tài)在z方向的概率分布；(c)使用未壓縮態(tài)時(shí)的誤差期望值；(d)壓縮的自旋量子態(tài)在布洛赫球上的表示，y方向的不確定度增加，z方向的不確定度減小了；(e)藍(lán)色為未壓縮態(tài)的概率分布，紅色和黃色為(d)圖中兩個(gè)壓縮態(tài)的概率分布[13]
2020年，Szigeti等人基于對(duì)冷原子重力儀的研究，提出BEC中固有的原子間相互作用會(huì)使得測(cè)量的精度提高[14]。體系的哈密頓量為
其中g(shù)ij=4π?2aij/m，aij為s波散射長(zhǎng)度，從哈密頓量出發(fā)可以得到BEC的演化算符為
，這個(gè)演化算符不僅會(huì)導(dǎo)致BEC的自相似擴(kuò)張，還會(huì)使自旋態(tài)產(chǎn)生壓縮，量子態(tài)在演化過(guò)程中從未壓縮態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閴嚎s態(tài)。前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，壓縮后量子態(tài)在某個(gè)方向上的不確定度會(huì)減小，假定為z方向，沿z方向進(jìn)行測(cè)量就會(huì)得到更高的精度。
在沒(méi)有糾纏的情況下，重力儀的精度可以表示為
其中N是粒子總數(shù)，k0由重力場(chǎng)決定，T是兩次脈沖的間隔時(shí)間。通過(guò)利用BEC的演化算符計(jì)算演化后的量子態(tài)(具體的計(jì)算過(guò)程可以參考文獻(xiàn)[14]的補(bǔ)充材料)，得到重力儀的精度變?yōu)?/p>
其中Var代表方差，ξ是自旋壓縮參數(shù)，并且小于1，使得 g小于沒(méi)有糾纏的情況，因此這種相互作用會(huì)使得重力儀的精度提高，超出散粒噪聲極限的2—5倍，同時(shí)，由于這種相互作用是在BEC中自發(fā)產(chǎn)生，不需要添加額外的誘導(dǎo)勢(shì)和光學(xué)腔，在現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)條件下是完全可以實(shí)現(xiàn)的。
3.2 與弱測(cè)量相結(jié)合
在量子力學(xué)中，測(cè)量過(guò)程實(shí)際上是使儀器與量子系統(tǒng)耦合的過(guò)程，測(cè)量的結(jié)果是將系統(tǒng)的量子態(tài)投影到某個(gè)本征態(tài)上的本征值，測(cè)量之后系統(tǒng)的波函數(shù)就坍縮到這個(gè)本征態(tài)上，使得系統(tǒng)的狀態(tài)回不到原來(lái)的狀態(tài)，也就不能進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，這是我們所熟知的強(qiáng)測(cè)量。1988年，Aharonov提出了弱測(cè)量的概念，使儀器與量子系統(tǒng)的耦合作用很弱，只從系統(tǒng)中提取出一點(diǎn)點(diǎn)信息而不破壞系統(tǒng)原來(lái)的量子態(tài)。常用的弱測(cè)量手段要首先準(zhǔn)備幾種初態(tài)
，再使用弱耦合的哈密頓量使初態(tài)進(jìn)行演化，最后將演化得到的量子態(tài)投影到后選擇的末態(tài)上
，就完成了一次弱測(cè)量，得到弱值
。由于耦合作用很弱，不破壞系統(tǒng)量子態(tài)的代價(jià)就是需要進(jìn)行大量的重復(fù)測(cè)量來(lái)提取出很少的有用信息。
2018年，郭光燦領(lǐng)導(dǎo)的量子信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的李傳鋒、陳耕等人設(shè)計(jì)了一種新的量子弱測(cè)量方案[15]，利用不確定度較大的混態(tài)和后選擇的純態(tài)系統(tǒng)，并將測(cè)量探針與弱值的虛部結(jié)合起來(lái)
其中g(shù)是我們想要通過(guò)測(cè)量估計(jì)的參數(shù)，P和C分別是由探針和系統(tǒng)決定的算符。測(cè)量結(jié)果的精度 g P-1，在測(cè)量過(guò)程中探針P不需要是糾纏態(tài)，即便是服從經(jīng)典概率分布也能滿足上面的公式，使測(cè)量精度提高。他們將這一方法應(yīng)用于單光子克爾非線性效應(yīng)的具體測(cè)量，得到的測(cè)量精度 g與使用的光子數(shù)N之間的關(guān)系如圖3所示，可以看出它們之間呈線性關(guān)系，即
達(dá)到了海森伯極限。實(shí)驗(yàn)中使用了大約十萬(wàn)個(gè)光子，相較于經(jīng)典測(cè)量方法精度提高了兩個(gè)數(shù)量級(jí)。這是世界上首次在實(shí)際測(cè)量中達(dá)到海森伯極限，并且不需要使用糾纏就能實(shí)現(xiàn)。
圖3 測(cè)量精度與光子數(shù)的關(guān)系，圖中點(diǎn)是選取了一組特定參數(shù)得到的結(jié)果，藍(lán)線是對(duì)點(diǎn)的擬合，紫線是混態(tài)測(cè)量精度的邊界[15]
2021年，郭光燦領(lǐng)導(dǎo)的研究組首次實(shí)現(xiàn)了三個(gè)參數(shù)同時(shí)達(dá)到海森伯極限的測(cè)量[16]。作為量子力學(xué)中基本的對(duì)稱群，SU(2)群在量子陀螺儀、量子參考系同步、量子傳感器等方面有著具體應(yīng)用。SU(2)群中任意一個(gè)算符都可以寫(xiě)為Us=
，其中n=(sinθcos?，sinθsin?，cosθ)，σ為泡利矩陣，因此有三個(gè)參數(shù)α、θ、?，確定了這三個(gè)參數(shù)就唯一確定了一個(gè)對(duì)稱變換，即確定了外界條件是如何改變量子態(tài)的，從而可以得到外界條件如磁場(chǎng)的信息。通過(guò)計(jì)算可以得到每個(gè)參數(shù)估計(jì)值的方差為
其中n為測(cè)量次數(shù)，Hx=i( xUs)Us?為對(duì)應(yīng)參數(shù)的生成元。他們?cè)O(shè)計(jì)了一套方案來(lái)同時(shí)達(dá)到三個(gè)參數(shù)測(cè)量的最高精度，首先制備出最大糾纏的探針態(tài)，然后用待測(cè)量的算符Us和控制算符Uc作用在系統(tǒng)上N次，最后分別將系統(tǒng)投影到所選擇的最佳本征態(tài)上進(jìn)行測(cè)量。在實(shí)驗(yàn)中他們選擇了
，得到的測(cè)量結(jié)果如圖4所示，可以看出三個(gè)參數(shù)同時(shí)達(dá)到了海森伯極限允許的最小誤差。
圖4 三個(gè)參數(shù)的測(cè)量誤差。圖中實(shí)線和虛線代表最小理論誤差，點(diǎn)表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，可以看出實(shí)驗(yàn)中三個(gè)參數(shù)同時(shí)達(dá)到了最小誤差。其中曲線①為經(jīng)典獨(dú)立測(cè)量，②為糾纏獨(dú)立測(cè)量，③為糾纏聯(lián)合測(cè)量，④為控制增強(qiáng)順序測(cè)量[16]
3.3 多參數(shù)測(cè)量的最優(yōu)方案
在實(shí)際測(cè)量時(shí)，往往需要同時(shí)對(duì)多個(gè)參數(shù)進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)海森伯不確定原理，如果兩個(gè)參數(shù)是不對(duì)易的，就無(wú)法同時(shí)對(duì)它們進(jìn)行精確測(cè)量，之前提到的壓縮態(tài)就是舍棄其中一個(gè)參數(shù)的精度來(lái)?yè)Q取另一個(gè)參數(shù)的更高精度。那么，如何同時(shí)兼顧多個(gè)參數(shù)來(lái)進(jìn)行最佳的測(cè)量呢？
杭州電子科技大學(xué)的陸曉銘與浙江大學(xué)的王曉光將海森伯不確定原理與多參數(shù)估計(jì)結(jié)合起來(lái)，提出了一種尋找多參數(shù)測(cè)量最優(yōu)方案的方法[17]。如果定義第j個(gè)參數(shù)θj的誤差為
，
，其中F為經(jīng)典Fisher信息矩陣，
為量子Fisher信息矩陣，是經(jīng)典Fisher信息矩陣所能達(dá)到的最大值，R就是理論值與測(cè)量值的偏差，可以推導(dǎo)出第j個(gè)參數(shù)與第k個(gè)參數(shù)之間的誤差滿足制約關(guān)系
其中
是實(shí)數(shù)，
，Lj表示對(duì)參數(shù)θj求對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)。對(duì)于一族純態(tài)組成的系統(tǒng)ρθ，制約關(guān)系取等號(hào)，即存在一種量子測(cè)量方案使等號(hào)成立，對(duì)于混態(tài)，通過(guò)變換cjk也可以取到等號(hào)。
例如對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)α，它的實(shí)部和虛部分別為θ1、θ2，通過(guò)計(jì)算得到
，c12=1，制約關(guān)系變?yōu)棣?2+Δ22 1，用Fisher信息矩陣表示為F11+F22 4，或
。相應(yīng)的曲線繪制在圖5中，曲線下方的區(qū)域是被不確定原理所禁止的，曲線上的點(diǎn)是同時(shí)測(cè)量這兩個(gè)參數(shù)所能達(dá)到的最佳精度，也就是說(shuō)可以找到一種測(cè)量方案使制約關(guān)系取等號(hào)，曲線上方的點(diǎn)表明同時(shí)對(duì)這兩個(gè)參數(shù)的測(cè)量沒(méi)有達(dá)到最佳精度。
圖5 對(duì)復(fù)數(shù) α 的實(shí)部和虛部使用相干態(tài)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的均方誤差，在曲線左下方的區(qū)域是被不確定原理所禁止的。黑色實(shí)線代表制約關(guān)系；紅色虛線代表基于右對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何平均量子測(cè)量極限；藍(lán)色虛線代表基于右對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的算術(shù)平均量子測(cè)量極限；綠色點(diǎn)線代表基于對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的調(diào)和平均量子測(cè)量極限[17]
04量子模擬
得益于原子控制技術(shù)的進(jìn)步，冷原子成為量子模擬的一個(gè)理想化的平臺(tái)[18, 19]。我們選擇如下4個(gè)主題來(lái)展示冷原子的模擬能力。一是冷原子模擬自旋—軌道耦合(SOC)，也包括最近提出的質(zhì)心軌道角動(dòng)量和自旋間的耦合，即自旋—軌道—角動(dòng)量耦合(SOAMC)。二是近幾年凝聚態(tài)物理領(lǐng)域被廣泛研究的物相，如超固態(tài)和拓?fù)湎?，體系由包括了SOC，Hubbard項(xiàng)的哈密頓量描述，在這些相互作用的競(jìng)爭(zhēng)下，物理體系可以表現(xiàn)出奇特的相變行為。三是冷原子模擬非厄米量子系統(tǒng)，著重分析其不同于厄米體系的行為。四是不同于之前在平坦黎曼流形上的分析，而是在雙曲流形上對(duì)BEC現(xiàn)象給予新的物理圖像。
當(dāng)然，冷原子的模擬能力遠(yuǎn)比這強(qiáng)大，許多有趣的物理系統(tǒng)并未包含在這些課題中，如模擬非線性系統(tǒng)[20]、耗散系統(tǒng)[21]等。
4.1 自旋—軌道耦合
自旋—軌道耦合(SOC)即原子內(nèi)部的超精細(xì)自旋通過(guò)雙光子拉曼過(guò)程與原子質(zhì)心動(dòng)量耦合[22—24]，等價(jià)于受到SU(2)非阿貝爾規(guī)范勢(shì)的作用[25]，可以產(chǎn)生很多有趣的物理效應(yīng)[26，27]。近來(lái)，原子質(zhì)心軌道角動(dòng)量和超精細(xì)自旋耦合產(chǎn)生的新現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)[28]，通過(guò)兩束Laguerre—Gaussian型激光，可以在旋量BEC中實(shí)現(xiàn)這種SOAMC[29，30]。
圖6 自旋為 1/2 的費(fèi)米原子與拉曼激光作用 (a)兩束同向傳播的攜有不同軌道角動(dòng)量(- l1? 和- l2? )的高斯型激光與原子作用誘導(dǎo)的 SOAMC；(b)能級(jí)躍遷示意圖；(c) Ω0—δ 平面內(nèi)二維 SOAMC 的費(fèi)米超流的多體相圖，其他參數(shù)設(shè)置為l = 3，EB/EF = 0.5 。圖中包括超流態(tài)(SF)、正常態(tài)(N)、有能隙的渦旋態(tài)(V1)和無(wú)能隙的渦旋態(tài)(V2)[31]
考慮約束在x—y平面的二組分自旋1/2費(fèi)米氣體，與兩束不同軌道角動(dòng)量的拉曼激光耦合(圖6(a)，(b))。通過(guò)一個(gè)幺正變換，得到極坐標(biāo)系下的單粒子有效哈密頓量[31]：
等式右側(cè)第二項(xiàng)展開(kāi)式中-l?Lzσz/(Mr2)項(xiàng)即是原子的軌道角動(dòng)量Lz與原子自旋的耦合項(xiàng)。l=(l1-l2)/2是兩束激光軌道角動(dòng)量之差，δ是雙光子失諧項(xiàng)，
是Gusssian型的拉曼耦合。
考慮不同自旋組分間的s波接觸勢(shì)，得到多體哈密頓量為：H=H0+Hint。平均場(chǎng)處理后，得到Bogoliubov—deGennes(BdG)哈密頓量，自洽求解得到圖6(c)所示的相圖。由序參量Δ=|Δ|eikθ 決定體系的狀態(tài)，如拓?fù)浜蒶非零時(shí)，屬于有能隙的渦旋態(tài)(V1)或無(wú)能隙的渦旋態(tài)(V2)；k為零時(shí)屬于超流相(SF，有能隙)或正常相(N，無(wú)能隙)。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，渦旋相的獨(dú)特行為：(1)渦旋中心的不同自旋組分的費(fèi)米氣體密度失衡且|Δ|在渦旋中心值為0，與其他兩相有很大差異；(2)序參量|Δ|在相當(dāng)長(zhǎng)的距離內(nèi)(可與激光頻譜半高寬ω比擬，且遠(yuǎn)大于kF-1)非零，預(yù)示著大半徑渦旋的產(chǎn)生。
當(dāng)考慮具有柱對(duì)稱性的三維諧振子勢(shì)阱中自旋為1的BEC的SOAMC時(shí)，可以得到更豐富的渦旋態(tài)的形式，文獻(xiàn)[32]中稱之為自旋向列渦旋態(tài)，對(duì)應(yīng)的相圖如圖7(a)所示。相Ⅴ和相Ⅳ在單體相圖的基礎(chǔ)上分別自發(fā)破缺了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和手征對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)于二級(jí)相變。通常所說(shuō)的渦旋態(tài)指的是(正規(guī)化的)自旋密度S構(gòu)成的渦旋(圖7(b))。在此文獻(xiàn)中，還發(fā)現(xiàn)新的由自旋向列
刻畫(huà)的渦旋態(tài)(圖7(b))。
圖7 (a)考慮自旋相關(guān)的 s 波相互作用的自旋為 1 的BEC多體相圖，其中實(shí)線表示一級(jí)相變，虛線表示二級(jí)相變，不同的相按照基態(tài)波函數(shù)區(qū)分；(b)相Ⅳ的經(jīng)典自旋S ={Sx, Sy, Sz}結(jié)構(gòu)(上圖)和自旋向列Q={Sx, 2Nyz, Dyz}結(jié)構(gòu)(下圖)。箭頭的顏色代表自旋密度S 或自旋向列Q 密度的z分量[32]
由此可見(jiàn)，利用高自旋的SOC或者SOAMC，可以發(fā)現(xiàn)許多其他新奇的物理相，這使其成為一種“技術(shù)手段”，與各種模型結(jié)合，得到更豐富的物理圖像，如超固體(SS)、超輻射[33]、拓?fù)湮飸B(tài)等。
4.2 量子相
超固體既是具有非對(duì)角長(zhǎng)程序的超流態(tài)，也是具有對(duì)角序的固態(tài)，概念最早在固體4He中被提出[34]。作為一種新奇的物態(tài)，其實(shí)現(xiàn)方法一直是理論和實(shí)驗(yàn)追尋的目標(biāo)。理論中預(yù)測(cè)可以實(shí)現(xiàn)超固態(tài)的方法有很多，例如在一維或二維旋量BEC系統(tǒng)中施加SOC[35，36]、偶極費(fèi)米系統(tǒng)等。
文獻(xiàn)[35]中考慮二維有SOC和軟核長(zhǎng)程相互作用的玻色氣體，在Gross—Pitaevskii平均場(chǎng)近似下的哈密頓量可以寫(xiě)成：
其中VSO是SOC，有效軟核長(zhǎng)程相互作用為
，Ci，j刻畫(huà)了不同自旋組分間的相互作用強(qiáng)度，Rc表示相互作用的作用范圍，可以通過(guò)Rydberg墜飾技術(shù)[37]來(lái)得到此作用。
通過(guò)虛時(shí)算法數(shù)值最小化哈密頓量得到多體基態(tài)，如圖8所示，參數(shù)固定時(shí)，渦旋環(huán)流方向相同，呈現(xiàn)周期性的渦旋排列，此即超固態(tài)。同時(shí)相互作用強(qiáng)度較弱的組分構(gòu)成渦旋的中心部分，被相互作用強(qiáng)的組分包圍。當(dāng)交換相互作用強(qiáng)度比，渦旋環(huán)流方向改變，不同的組分交換分布方式，故而此超固態(tài)稱為手征超固態(tài)。當(dāng)繼續(xù)改變相互作用強(qiáng)度比，還會(huì)出現(xiàn)其他超固態(tài)相，如平面波超固態(tài)、駐波超固態(tài)、自旋極化的超流相等。
圖8 由Rashba型SOC和長(zhǎng)程軟核相互作用誘導(dǎo)的手征超固態(tài)。相同自旋氣體間的不同相互作用強(qiáng)度 C = 2C ((a)和(b))和 C = 2C ((c)和(d))時(shí)，密度|ψ|2和相位 ? 的分布圖。圖中相位分布由顏色變化表征，色輪中的箭頭指向?yàn)橄辔辉龃蠓较?，密度分布由明暗變化表征?a)，(c)為自旋向上氣體在實(shí)空間中的分布圖，(b)，(d) 為自旋向下氣體在實(shí)空間中的分布圖。其中， Rc 為相互作用范圍[35]
周期性光學(xué)勢(shì)阱中的冷原子可以只占據(jù)少量的低能布洛赫帶，且同一勢(shì)阱中的冷原子間相互作用很大，可以很好地模擬強(qiáng)關(guān)聯(lián)的晶格模型，如Hubbard模型[38，39]。同時(shí)Hubbard模型可以產(chǎn)生許多新奇的拓?fù)湮飸B(tài)，使得Hubbard模型成為研究的熱潮。文獻(xiàn)[40]指出可以用光晶格中的冷原子系統(tǒng)模擬二維Hubbard—Hofstadter模型，對(duì)其中Hubbard項(xiàng)作類似于BCS平均場(chǎng)近似的處理。發(fā)現(xiàn)Majorana—Kramers對(duì)(MKPs)的存在，為高階拓?fù)洮F(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)提供支持。同樣的文獻(xiàn)[41]也證明在具有Rashba和Dresselhaus兩種SOC的二維拓展Hubbard模型中得到了一階(存在零能邊緣態(tài))和二階(存在零能角態(tài))拓?fù)涑瑢?dǎo)相，改變溫度或化學(xué)勢(shì)可以有效地調(diào)控這種相變。
4.3 非厄米
隨著研究的逐步深入，對(duì)于量子系統(tǒng)的研究從封閉系統(tǒng)走向開(kāi)放系統(tǒng)，即非厄米體系，展現(xiàn)出其獨(dú)有的物理效應(yīng)，如：奇異點(diǎn)(EPs)[42]、非厄米趨膚效應(yīng)[43]等。而光學(xué)系統(tǒng)中的冷原子由于其可操縱性，可以很好地模擬非厄米效應(yīng)[44—46]。
文獻(xiàn)[47]中提出可以利用冷原子雙光子拉曼輔助躍遷實(shí)現(xiàn)哈密頓量中的躍遷項(xiàng)，通過(guò)射頻脈沖將原子共振轉(zhuǎn)移得到損耗項(xiàng)，從而獲得非厄米的三維連續(xù)哈密頓量：
其中hx=2kxkz+2ky(m-k2/2)，hz=kx2+ky2-kz2-(m-k2/2)+iγz。發(fā)現(xiàn)其能譜中奇異點(diǎn)可以構(gòu)成奇異鏈(圖9(a)，(b))。與厄米情形中零能鏈?zhǔn)苣撤N對(duì)稱性保護(hù)不同，Hopf鏈(圖9(a)，兩條鏈間有節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu))并不依賴于對(duì)稱性。例如上式哈密頓量滿足手征對(duì)稱性
，當(dāng)施加破壞手征對(duì)稱性的非厄米的微擾HNH=iγyσy時(shí)，得到的Hopf鏈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并未改變(圖9(c))。體系的拓?fù)湫再|(zhì)可由纏繞數(shù)
表征，其中kcn和kcp是相角?=arctan(hx/hz)的間斷點(diǎn)。
圖9 非厄米哈密頓量能譜中的奇異簡(jiǎn)并情況，參數(shù)取值為(a) m = 1, γz = 0.8, γy = 0 ；(b) m = -0.25, γz = 0.15, γy = 0 ；(c) m = 1, γz = 0.8, γy = 0.5 時(shí)，哈密頓量零能解集在動(dòng)量空間構(gòu)成的鏈l1和l2 。其中 γy 0 指施加了破缺手征對(duì)稱性的非厄米微擾項(xiàng)[47]
計(jì)算非厄米的能譜，發(fā)現(xiàn)高維體系中也存在拓?fù)湎?，同時(shí)與厄米情形不同，非厄米系統(tǒng)的零能表面模受晶格尺寸調(diào)控：由于表面模局域化程度不高，當(dāng)格點(diǎn)數(shù)N太小時(shí)，零能模并不嚴(yán)格局域在邊緣，所以表面模消失，但是增強(qiáng)非厄米強(qiáng)度，即增大γz，可以使表面模重新出現(xiàn)。另外，改變動(dòng)量可以調(diào)控表面模局域中心的位置。
非厄米體系的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系由非布洛赫理論描述，由此計(jì)算拓?fù)洳蛔兞康姆e分區(qū)間并非是厄米情形的布里淵區(qū)，而是由廣義布里淵哈密頓量得到的廣義布里淵區(qū)。
厄米情形的許多模型在引入非厄米的作用時(shí)會(huì)涌現(xiàn)出許多新奇的行為，如文獻(xiàn)[48]中研究了非厄米費(fèi)米超導(dǎo)的多體行為，其中非厄米項(xiàng)是二體非彈性碰撞產(chǎn)生的損耗γ。體系s波配對(duì)的非厄米的Bardeen—Cooper—Schriefferv(BCS)有效哈密頓量為
其中U=U1+iγ/2，U1和γ是大于0的實(shí)數(shù)。由于非厄米哈密頓量有兩組本征態(tài)且彼此并不對(duì)偶，因此算符A的期望值應(yīng)由左右兩組本征態(tài)共同定義
，于是利用自洽平均場(chǎng)方法得到的超流態(tài)配對(duì)序參量Δ和
不滿足復(fù)共軛關(guān)系，即
Δ*。同時(shí)通過(guò)Bogoliubov變換后得到的準(zhǔn)粒子既不是玻色子也不是費(fèi)米子，展現(xiàn)出許多非厄米行為，如奇異點(diǎn)(若為高維系統(tǒng)則出現(xiàn)奇異線、面等)、非厄米超流等。
4.4 幾何動(dòng)力學(xué)
關(guān)于冷原子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化行為已經(jīng)得到廣泛的研究[49，50]，但幾何的引入帶來(lái)了很多新的物理理解。文獻(xiàn)[51]由低能均勻稀薄玻色氣體二次量子化后的哈密頓量出發(fā)，考慮低能激發(fā)并作U(1)規(guī)范變換：
，得到SU(1, 1)群上的哈密頓量：
其中
，為SU(1, 1)群的生成元。
定義熱場(chǎng)二重態(tài)
(U(t)為系統(tǒng)的時(shí)間演化算符)，可以構(gòu)建和龐加萊圓盤(pán)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。如圖10(a)所示，圓盤(pán)上的閉軌跡對(duì)應(yīng)體系的穩(wěn)定模式，即體系本征值為實(shí)數(shù)，反之對(duì)應(yīng)于開(kāi)軌跡?？紤]SU(1, 1)回波，可以將周期性的動(dòng)力學(xué)演化和龐加萊圓盤(pán)上的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)(圖10(b)，(c))。當(dāng)考慮次一級(jí)的相互作用時(shí)，體系SU(1, 1)對(duì)稱性自發(fā)破缺，用回波理論可以精確測(cè)量激發(fā)態(tài)粒子間的相互作用。
圖10 通過(guò)TFD將希爾伯特空間與雙曲空間聯(lián)系 (a)
取不同值(從藍(lán)到紫分別為0.3，1，1.5，2，2.2，3)時(shí)，TFD在龐加萊圓盤(pán)上的演化軌跡，閉(開(kāi))軌跡對(duì)應(yīng)于體系的(不)穩(wěn)定模式；(b) SU(1,1) 回波下粒子數(shù)調(diào)控(小圖是調(diào)控的相互作用強(qiáng)度)；(c)龐加萊圓盤(pán)上 TFD 的演化圖，紅色虛線代表偽轉(zhuǎn)動(dòng) B(η，?) 和旋轉(zhuǎn)操作R(?0) ，藍(lán)色曲線和綠色曲線分別代表回波過(guò)程中的時(shí)間演化[51]
05量子計(jì)算
量子計(jì)算近年來(lái)發(fā)展迅速。冷原子的高度可操控性和可拓展性，使得其有很大可能實(shí)現(xiàn)高比特的量子糾纏，文獻(xiàn)[52]中首次提出可以用冷中性原子構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)自2010年開(kāi)始，對(duì)超冷原子光晶格展開(kāi)研究，實(shí)現(xiàn)了600多對(duì)高保真度的超冷87Rb原子糾纏[53]，模擬了拓?fù)淞孔佑?jì)算的任意子激發(fā)模型[54]。在2020年，他們首次提出新的原子冷卻方案[55]：在晶格中調(diào)整局域化學(xué)式，使絕緣態(tài)冷原子樣品與大態(tài)密度的超流相交替出現(xiàn)(圖11(a))，兩相中的原子通過(guò)隧穿交換熵，熱量以低能激發(fā)的形式儲(chǔ)存在超流相中。通過(guò)將超流相中的原子移除并調(diào)控晶格勢(shì)，可以得到超過(guò)104點(diǎn)位的低溫均勻填充態(tài)。通過(guò)三能級(jí)的超交換作用，可以得到1250對(duì)兩原子比特糾纏門。由圖11(b)中自旋關(guān)聯(lián)的測(cè)量值，可以得到實(shí)驗(yàn)生成密度矩陣的保真度為99.3 0.1%，遠(yuǎn)高于之前實(shí)驗(yàn)的中性原子二量子比特門的保真度。
圖11 (a)交錯(cuò)式的原子冷卻平臺(tái)：超晶格中，有能隙的絕緣體樣品交錯(cuò)放入無(wú)能隙的超流原子庫(kù)中， J、U、Δ 分別是動(dòng)能、相互作用、能隙；(b)自旋關(guān)聯(lián)：二比特糾纏門在經(jīng)過(guò)29個(gè)門操作后在不同基下的測(cè)量值。其中
分別是泡利矩陣 σz、σx、σy 的本征態(tài)[55]
06結(jié) 語(yǔ)
冷原子體系由于其宏觀的量子特性和高度可調(diào)控性提供了一個(gè)全新的研究平臺(tái)，其新穎量子態(tài)和奇異物性的研究是國(guó)際上具有前瞻性和挑戰(zhàn)性的前沿領(lǐng)域。冷原子在量子精密測(cè)量、量子模擬和量子計(jì)算等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用價(jià)值。超冷原子作為一種微觀尺度上可調(diào)控的多體系統(tǒng)，在研究和調(diào)控宏觀新奇物態(tài)上具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，并成為物理學(xué)的重要分支。近十年里，超冷原子呈現(xiàn)出諸多重要的新發(fā)展，為非常規(guī)物態(tài)的實(shí)現(xiàn)和研究提供了全新的視角和可靠的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。其中，基于超冷原子的拓?fù)湮飸B(tài)研究從無(wú)相互作用或弱關(guān)聯(lián)的拓?fù)浣^緣態(tài)開(kāi)始延伸至相互作用強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系；基于少內(nèi)稟自由度、短程作用超冷氣體的研究推進(jìn)到多自由度、長(zhǎng)程相互作用的新型超冷氣體平臺(tái)，有效提升對(duì)新型多體物態(tài)的模擬能力；基于平衡態(tài)理論的物態(tài)表征和傳統(tǒng)研究推進(jìn)到常規(guī)凝聚態(tài)系統(tǒng)難以調(diào)控的遠(yuǎn)離平衡的多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，催生表征動(dòng)力學(xué)物態(tài)的新概念和基本理論，拓寬對(duì)非平衡物理的認(rèn)知。這些超越常規(guī)的多體物態(tài)研究正在為凝聚態(tài)物理、統(tǒng)計(jì)物理、非平衡場(chǎng)論等多個(gè)物理學(xué)科打開(kāi)一扇全新的通向新物理基礎(chǔ)規(guī)律和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)的大門，同時(shí)也將啟迪全新的功能器件技術(shù)和高科技產(chǎn)業(yè)。
在以冷原子系綜為基礎(chǔ)的精密測(cè)量領(lǐng)域取得了豐碩的成果：冷原子噴泉頻標(biāo)、干涉儀測(cè)量引力常數(shù)、魔術(shù)波長(zhǎng)光晶格頻標(biāo)、冷離子頻標(biāo)、冷原子重力儀、冷原子陀螺儀等新型冷原子精密測(cè)量?jī)x器正在成為計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)或是多次刷新了精密測(cè)量的記錄，有些應(yīng)用也已經(jīng)在勘探、軍事國(guó)防等方面發(fā)揮著重要作用。極低的熱噪聲、良好的相干性、靈活的操控性以及極高的信噪比使得冷原子系統(tǒng)可以用于制造量子信息的新型量子器件，也使其在量子精密測(cè)量、量子信息存儲(chǔ)、量子信息傳輸?shù)戎匾孔有畔㈩I(lǐng)域有著重大科學(xué)意義與技術(shù)應(yīng)用。這些研究方向代表了未來(lái)信息技術(shù)發(fā)展的重要戰(zhàn)略趨勢(shì)，是世界各國(guó)展開(kāi)激烈競(jìng)爭(zhēng)的下一代量子信息體系的焦點(diǎn)，并極有可能對(duì)人類社會(huì)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生巨大的影響。
